数分二复习笔记

旋度场的向量势不唯一

$$
\wedge^k\mathbb R^n={e_{i_1},e_{i_2},\cdots,e_{i_k}}
$$

$$
\dim(\wedge^k\mathbb R^n)=\binom nk
$$

多元积分学

等值面

假设 $U\subset\mathbb R^n$，$F:U\to\mathbb R\in C^1(U)$。如果对于任意 $\vec a\in F^{-1}(0)$，都有 $\nabla F(\vec a)\ne0$，即 $F(\vec a)=0,\nabla F(\vec a)=0$ 没有公共解。那么 $S=F^{-1}(0)$ 是一个 $(n-1)$ 维流形，它在 $\vec a\in S$ 处的法向量恰为 $\nabla F(\vec a)$。

隐函数定理

设 $F:U(\subset\mathbb R^2)\to\mathbb R$ 为 $C^1(U)$ 中的函数。且对于一点 $(x_0,y_0)\in U$，有 $F(x_0,y_0)=0$ 且 $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\ne0$，则存在 $x_0$ 的邻域 $I$ 和 $y_0$ 的邻域 $J$，使得在 $I\times J$，$F(x,y)=0$ 对于每个 $x\in I$ 有唯一的解 $y=f(x)$，且 $f(x)\in C^1(I)$。且有

$$
\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$

Generally：

$\vec F:\mathbb R^{n+m}\to\mathbb R^m$，若 $f(\vec a,\vec b)=\mathbf0$，且 $\vec F(\vec x,\vec y)$ 关于 $\vec y$ 的 Jacobian 在 $(\vec a,\vec b)$ 处不为零，则存在 $\vec a$ 的邻域 $U$ 和 $\vec b$ 的邻域 $V$ 以及 唯一的 连续可微函数 $h:U\to V$ 使得 $h(\vec a)=\vec b$ 且

$$
\forall\vec x\in U,\ \vec F(\vec x,h(\vec x))=\mathbf 0
$$

关于 Jacobi，有

$$
Jf(\vec x)=-(J_y\vec F(\vec x,\vec y))^{-1}J_x\vec F(\vec x,\vec y)
$$

隐函数

假设 $U\subset\mathbb R^n$，$F:U\to\mathbb R\in C^1(U)$。如果对于任意 $\vec a\in F^{-1}(0)$，都有 $\nabla F(\vec a)\ne0$，即 $F(\vec a)=0,\nabla F(\vec a)=0$ 没有公共解。那么 $S=F^{-1}(0)$ 是一个 $(n-1)$ 维流形，它在 $\vec a\in S$ 处的法向量恰为 $\nabla F(\vec a)$。

逆映射定理

设 $U\subsetneq\mathbb R^n$，$F:U\to\mathbb R^m\in C^1(U)$，$\vec a\in U$，且 $JF(\vec a)$ 可逆，$\vec b=f(\vec a)$。则存在 $\vec b$ 的一个邻域 $V$ 和 $\vec a$ 的一个邻域 $W\subset U$，以及 $C^1$ 的映射 $G:V\to W$，使得 $F,G$ 为 $W,V$ 之间的微分同胚（是一一映射且可导）。

秩定理

若 $\mathrm{rank}(JF)=r$，则 $\forall p\in U$，存在 $p$ 的一个邻域 $U\subset U_1$，$F§$ 的一个邻域 $V_1\subset V$ 和微分同胚 $\phi:U_1\to\tilde U_1,\psi:V_1\to\tilde V_1$，满足 $\tilde F=\psi\circ F\circ\phi^{-1}$ 的表达式为

$$
F(\tilde x_1,\cdots,\tilde x_n)=(\tilde y_1=\tilde x_1,\cdots,\tilde y_r=\tilde x_r,\tilde y_{r+1}=0,\cdots,\tilde y_m=0)
$$

这个坐标变换相当于将非线性的函数图像拉直了

偏导换序

$f\in C^k(U)\implies$ 直到 $k$ 阶的偏导数都可以交换顺序

Hesse 阵

$$
Hf=(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j})
$$

被称为 Hesse of $f$。当 $f\in C^2$ 时，$Hf$ 是对称阵。

当 $r=0$ 时，即 $Hf§$ 正定，$p$ 是 $f$ 的局部极小值；当 $r=n$ 时，即 $Hf§$ 负定，$p$ 是 $f$ 的局部极大值；其余情况下，$p$ 是 $f$ 的鞍点。

Morse Lemma

对于 $f$ 上的非退化临界点 $p$，则在 $p$ 的一个邻域内存在一个局部坐标系 $x_1,\cdots,x_n$ 使得 $f’(x_1,\cdots,x_n)=f§-x_1^2-\cdots-x_r^2+x_{r+1}^2+\cdots+x_n^2$。

多元复合求导

$$
f(x,y)\mapsto f(r,\theta),\ \ J_f(r,\theta)=J_f(\phi(x,y))\cdot J_\phi(r,\theta)
$$

$$
\frac{\partial f}{\partial u_i}=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_j}\cdot\frac{\partial x_j}{\partial u_i}
$$

积分换元

$$
\int f(x,y)dxdy=\int f(u,v)|J\varphi|dudv
$$

Laplace 极坐标表示

$$
\Delta f=\frac1r\frac\partial{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2}
$$

关于切空间

梯度向量的补空间 $=$ 等值面的切空间

![[Pasted image 20230615134649.png]]

曲面法向量

$F(x,y,z)=0$ 的法向量为 $\vec n=\nabla F$

逆映射的偏导

一种是硬上 Jacobi 求逆，另一种如果可以直接写出逆映射的表达式

条件极值

若 $f$ 在 $\vec z_0$ 处取到极值，则

$$
Jf(\vec z_0)+\vec\lambda J\Phi(\vec z_0)=0
$$

其中 $\Phi$ 是条件，满足 $\det J_y\Phi(\vec z_0)\ne0$。

实际解题时，列出 $L(\vec z,\vec\lambda)=f(\vec z)+\sum_i\lambda_i\Phi_i(\vec z)$，然后按照 $\pt L{\vec z}=\mathbf0,\Phi(\vec z)=\mathbf0$ 列式。

必要时，讨论 $\nabla_{\vec z}^2L$（Hesse 阵）的正定 / 负定性来判断极小 / 极大值。需要注意的是，即使 Hesse 阵不定，也可能是极大 / 极小值。

$n$ 维球极坐标变换

$$
\begin{cases}
x_1&=r\cos\theta_1\
x_2&=r\sin\theta_1\cos\theta_2\
\cdots\
x_{n-1}&=r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{n-2}\cos\theta_{n-1}\
x_n&=r\sin\theta_1\cdots\sin\theta_{n-2}\sin\theta_{n-1}
\end{cases}
$$

$\theta_1,\cdots,\theta_{n-2}\in[0,\pi],\theta_{n-1}\in[0,2\pi]$

$$
\frac{\partial(x_1,\cdots,x_n)}{\partial(\theta_1,\cdots,\theta_n)}=r^{n-1}\sin^{n-2}\theta_1\sin^{n-3}\theta_2\cdots\sin\theta_{n-2}
$$

零测集

对于任意 $\epsilon>0$，都有一些体积（面积）之和小于 $\epsilon$ 的（超）立方体（矩形）可以盖住 $A$

曲线曲面

曲线弧长

$$
\int_a^b|\vec r’(t)|dt
$$

变上限弧长参数

$$
s(t)=\int_a^b|\vec r’(t)|dt
$$

即 $\frac{ds}{dt}=|\vec r’(t)|$

保定向

$\tilde t=\tilde t(t)$ 严格单调增，则参数变换是保定向的

保定向的参数变换不改变弧长，也不改变弧长微分

第一基本量

对于曲面的一个参数化，考察其法向量

$$
\vec r_u\times\vec r_v=\pt{\vec r}u(u_0,v_0)\times\pt{\vec r}v(u_0,v_0)=\left(\pt{(y,z)}{(u,v)},\pt{(z,x)}{(u,v)},\pt{(x,y)}{(u,v)}\right)
$$

将其单位化。由于

$$
||\vec r_u\times\vec r_v||=||\vec r_u||^2||\vec r_v||^2-(\vec r_u\cdot\vec r_v)^2=EG-F^2=\begin{vmatrix}E&F\F&G\end{vmatrix}
$$

则

$$
\vec n=\frac1{\sqrt{EG-F^2}}\left(\pt{(y,z)}{(u,v)},\pt{(z,x)}{(u,v)},\pt{(x,y)}{(u,v)}\right)
$$

正则曲面：$\vec r_u\times\vec r_v\ne0$

$$
ds^2=Edu^2+2Fdudv+Gdv^2
$$

$$
d\sigma=\sqrt{EG-F^2}dudv
$$

第二基本量

$$
\begin{pmatrix}L&M\M&N\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\vec n\cdot\vec r_{uu} & \vec n\cdot\vec r_{uv}\
\vec n\cdot\vec r_{vu} & \vec n\cdot\vec r_{vv}
\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}
\vec n_u\cdot\vec r_u & \vec n_u\cdot\vec r_v\
\vec n_v\cdot\vec r_u & \vec n_v\cdot\vec r_v
\end{pmatrix}
$$

第一型曲线积分

联系：求质量

$$
\int f(\vec r)ds=\int f(t)|\vec r’(t)|dt
$$

第二型曲线积分

联系：求沿路径做功

$$
\int \vec F(\vec r)\cdot d\vec r=\int\vec F(t)\cdot\vec r’(t)\ dt=\int Pdx+Qdy+Rdz
$$

单连通

没洞！

任意闭曲线都可以连续收缩至一个点

Green 公式

（二维）要求 $P,Q$ 在 $\Omega$ 上连续且偏导数 $\pt Qx,\pt Py$ 连续（也就是说有奇点不能用！）

$$
\int_{\partial\Omega}Pdx+Qdy=\int_\Omega\left(\pt Qx-\pt Py\right)dxdy
$$

（实际上是 Stokes 公式的特例）

单连通区域内，积分路径无关 $\iff$ $\pt Qx=\pt Py$（即，单连通区域内，无旋场 $\iff$ 有势场 $\iff$ 保守场）

法向与面积微元

单位正法向量 $\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，满足

$$
\newcommand{\pt}[2]{\frac{\partial#1}{\partial#2}}
\newcommand{\p}[1]{\frac\partial{\partial#1}}
\newcommand{\ptt}[3]{\frac{\partial^2#1}{\partial#2\partial#3}}
\begin{aligned}
d\sigma\cos\alpha=dydz\
d\sigma\cos\beta=dxdz\
d\sigma\cos\gamma=dxdy
\end{aligned}
$$

（理解为投影）

需要注意的是，在二维上的时候，由于微分形式考虑定向问题，结论会稍显不同：

$$
ds\cos\alpha=dy,\quad ds\cos\beta=-dx
$$

第一型曲面积分

联系：求质量

$$
\int f\ d\sigma=\int f||\vec r_u\times\vec r_v||dudv
$$

第二型曲面积分

联系：单位时间内通过曲面的流体总量

$$
\int\vec F\cdot d\vec\sigma=\int\vec F\cdot\vec n\ d\sigma=\int Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
$$

另一些关于法向的常见记号

$$
d\vec\sigma=\vec n d\sigma
$$

$$
\pt u{\vec n}=\nabla u\cdot\vec n
$$

场论相关

有势场（恰当形式）：$\exists f,\vec F=\nabla f$；$\exists f,\omega=\mathrm df$

无旋场（闭形式）：$\nabla\times\vec F=0$；$\mathrm d\omega=0$

无散场：$\nabla\times\vec F=0$；$\star\omega=0$

有势场 + 单连通 $\implies$ 保守场；恰当形式 + 单连通（$\omega\in\Omega^1(U)$）$\implies$ 积分路径无关

Gauss 公式

$$
\int_{\partial\Omega}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\int_\Omega\left(\pt Px+\pt Qy+\pt Rz\right)d\mu
$$

Stokes 公式

$$
\begin{aligned}
\int_{\partial\Sigma}Pdx+Qdy+Rdz
&=\int_\Gamma\begin{vmatrix}
\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \
\p x & \p y & \p z \
P & Q & R
\end{vmatrix}d\sigma\
&=\int_\Gamma\begin{vmatrix}
dydz & dzdx & dxdy \
\p x & \p y & \p z \
P & Q & R
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

$\nabla$ 的常见公式

$$
\vec p=(x,y,z),p=||\vec p||,\quad\nabla p=\frac{\vec p}p
$$

散度

物理意义是单位体积内向外流出的通量强度

令 $S$ 为包围点 $\vec p$ 的一个封闭曲面，$V$ 是 $S$ 所包围的封闭空间，则

$$
\mathrm{div}\vec F=\lim_{V\to\vec p}\frac1{\mu(V)}\int_S\vec F\cdot\vec n\ d\sigma=\nabla\cdot\vec F
$$

Laplace

$$
\Delta=\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$

调和函数：$\Delta u=0$

流体的连续性方程

$$
\pt\rho t+\mathrm{div}(\rho\vec F)=0
$$

其中数量场 $\rho$ 为密度场，向量场 $\vec F$ 为流速场

旋度

物理意义是单位面积内绕某点的旋转强度

记 $\Gamma$ 为一条包围 $\vec p$ 的曲线（位于一个包含 $\vec p$ 的平面内），$A$ 为其面积

$$
\mathrm{rot}\vec F=\lim_{\Gamma\to\vec p}\frac1A=\int_\Gamma\vec F\cdot d\vec s=\int_\Gamma\vec F\cdot\vec t\ ds=\nabla\times\vec F
$$

其中 $\vec t$ 为单位切向量

恰当微分方程

$$
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
$$

设 $\varphi(x,y)$ 是向量场 $\vec F=(P,Q)$ 的势（如果有的话！），则

$$
\varphi(x,y)=c
$$

为上面方程的通解

反之，我们考虑整出一个 $\mu(x,y)$ 使得

$$
\mu Pdx+\mu Qdy=0
$$

里面的 $(\mu P,\mu Q)$ 有势。怎么整呢？

有势先得无旋。那么得有

$$
\pt{(\mu P)}y=\pt{(\mu Q)}x\implies\mu_xQ-\mu_yP=(P_y-Q_x)\mu
$$

我们尝试假定，$\mu$ 只和 $x$ 有关。这样的话有

$$
\frac{\mu_x}\mu=\frac{P_y-Q_x}Q
$$

（实际计算时，我们是去看 RHS 是不是只和 $x$ 有关，如果是就开始套）

那么就有

$$
\begin{aligned}
\frac{d\mu}\mu&=\frac{P_y-Q_x}Qdx\
\ln\mu&=\int\frac{P_y-Q_x}Qdx\
\mu&=\exp\left(\int\frac{P_y-Q_x}Qdx\right)
\end{aligned}
$$

旋度场和无源场

星形域内，旋度场 $\iff$ 无源场（$\nabla\cdot\vec F=0$）

正交曲线坐标系

参数坐标 $u_1,u_2,u_3$，$f(u_1,u_2,u_3)=\vec p$，满足

• $f\in C^1(D)$；
• $f$ 是单射；
• $\pt f{u_1},\pt f{u_2},\pt f{u_3}$ 两两正交；
• $\det Jf>0$（不改变定向，组成右手系）

记 $h_i=||\pt f{u_i}||$，$\pt f{u_i}=h_ie_i$

性质：

$$
\nabla\Phi=\sum_{i=1}^3\frac1{h_i}\pt\Phi{u_i}e_i
$$

$$
\nabla u_i=\frac{e_i}{h_i}
$$

$$
\nabla\cdot\frac{e_1}{h_2h_3}=\nabla\cdot\frac{e_2}{h_1h_3}=\nabla\cdot\frac{e_3}{h_1h_2}=0
$$

$$
\vec F=F_1e_1+F_2e_2+F_3e_3
$$

$$
\nabla\cdot\vec F=\frac1{h_1h_2h_3}\left(\pt{(F_1h_2h_3)}{u_1}+\pt{(F_2h_1h_3)}{u_2}+\pt{(F_3h_1h_2)}{u_3}\right)
$$

$$
\nabla\times\vec F=\frac1{h_1h_2h_3}\begin{vmatrix}
h_1e_1 & h_2e_2 & h_3e_3\
\p{u_1} & \p{u_2} & \p{u_3}\
F_1h_1 & F_2h_2 & F_3h_3
\end{vmatrix}
$$

de Rham 上同调

$\Omega^k(M)$

光滑流形 $M$ 上的光滑微分 $k-$ 形式的集合

$$
\mathrm d=\mathrm d_k:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)
$$

de Rham 复形

$$
\Omega^0(M)(C^\infty(M))\to\Omega^1(M)\to\Omega^2(M)\to\cdots
$$

上同调

定义两个闭形式 $\alpha,\beta$ 上同调，当且仅当 $\alpha-\beta$ 为恰当形式

de Rham 上同调群

$$
H_{dR}^k(M)=\ker\mathrm d_k/\mathrm{Im}\mathrm d_{k-1}
$$

通过上同调定义等价关系的群

即，$\Omega^k(M)$ 中的闭形式模恰当形式

同伦

可以连续变成另外一个东西

同调

两个 $n$ 维流形同调，是指他们为一个 $n+1$ 维流形的边界

n-单形

$$
\Delta^n=\left{\vec x\left|\sum_{i=1}^nx_i=1\ (x_i\ge0)\right.\right}
$$

例如，$\Delta^0$ 是点，$\Delta^1$ 是线段，$\Delta^2$ 是 $(0,0),(0,1),(1,0)$ 构成的三角形

奇异 n-单形：$X$ 中的一个奇异 n-单形是一个连续映射 $\sigma:\Delta^n\to X$；相当于把单形映射到 $X$ 上去了！比如 $X$ 上的一个“三角形”

奇异（下）同调

$$
H_k(X;\mathbb Z)
$$

“$n$ 维洞的个数”

什么是 $n$ 维洞？

对于一个 $n$ 维洞，我们能够用一些奇异 n-单形粘起来，得到一个奇异 n-链来把这个洞围住；这样的奇异 n-链没有边界，也不能写成另一个奇异 n-链的边界。满足这一性质的奇异 n-链对应了空间的 $n$ 维洞

de Rham 定理

对于光滑流形 $M$，

$$
H_{dR}^k(M)\simeq H_k(M;\mathbb R)
$$

Chain Complex

$$
0\gets C_0\xleftarrow{\partial}\cdots\xleftarrow{\partial}C_n\gets 0
$$

其中 $C_n$ 是 $n$ 维定向单形张成的线性空间（单形在 $\mathbb K$ 中的线性组合称为 链）

取边界操作：

$$
\partial[P_1P_2\cdots P_n]=\sum_{i=1}^n(-1)^i[P_1\cdots P_{i-1}P_{i+1}\cdots P_n]
$$

闭链：$Z_n(K)=\ker\partial_n={\sigma\in C_n(K)|\partial_n\sigma=0}$。也就是说，经过区边界操作后会得到 $0$，形象理解就是闭的

边界链：$B_n(K)=\mathrm{Im}\partial_{n+1}={\partial_{n+1}\Delta|\Delta\in C_{n+1}(K)}$。也就是说，是高维链的边界

$$
H_n(K;\mathbb Z)=Z_n(K;\mathbb Z)/B_n(K;\mathbb Z)
$$

常用的公式：

$$
\mathrm{Im}\partial_k=C_k/\ker(\partial_k)\quad(方便计算维数)
$$

TODO：什么时候无旋 $\implies$ 有势？

更多的微分形式内容

Hodge 星算子

$$
\star(e_1\wedge e_2\wedge\cdots\wedge e_k)=e_{k+1}\wedge\cdots\wedge e_n
$$

也就是说一个取“补”的操作

$$
\begin{aligned}
\omega&=P\mathrm dx+Q\mathrm dy\
\mathrm d\omega&=(\pt Qx-\pt Py)\mathrm dx\land\mathrm dy\
\star\mathrm d\omega&=\pt Qx-\pt Py\
\mathrm d\star\mathrm d\omega&=\mathrm d(\pt Qx-\pt Py)=(\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}\mathrm dx+\ptt Qxy\mathrm dy)-(\ptt Pxy\mathrm dx+\frac{\partial^2P}{\partial y^2}\mathrm dy)\
&=(\frac{\partial^2Q}{\partial x^2}-\ptt Pxy)\mathrm dx+(\ptt Qxy-\frac{\partial^2 P}{\partial y^2})\mathrm dy\
\star\mathrm d\star\mathrm d\omega&=-(\ptt Qxy-\frac{\partial^2P}{\partial y^2})\mathrm dx+(\frac{\partial^2Q}{\partial x^2}-\ptt Pxy)\mathrm dy
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\star\omega&=Q\mathrm dx+P\mathrm dy\
\mathrm d\star\omega&=(\pt Px+\pt Qy)\mathrm dx\land\mathrm dy \
\star\mathrm d\star\omega&=\pt Px+\pt Qy \
\mathrm d\star\mathrm d\star\omega&=-(\frac{\partial^2P}{\partial x^2}+\ptt Qxy)\mathrm dx+(\ptt Pxy+\frac{\partial^2Q}{\partial y^2})\mathrm dy
\end{aligned}
$$

常用的场论对应：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{grad}f&=\nabla f=d\omega\
\mathrm{rot}\vec F&=\nabla\times\vec F=\mathrm d\omega\
\mathrm{div}\vec F&=\nabla\cdot\vec F=\star\mathrm d\star\omega\
\end{aligned}
$$