数分习题课笔记（5）

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曲面 $F(x,y,z)=0$ 上一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)\ne0$，那么 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量为 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$。

2

求曲面 $x^2+y^2+z^2=x$ 的切平面，使其垂直于 $x-y-z-=2$ 和 $x-y-z/2=2$。

trivial

3

证明：$F(x-az,y-bz)=0$ 所有切平面都与一直线平行。

4

$z=z(x,y)$ 是方程 $x/z=\varphi(y/z)$ 确定的隐函数，$\varphi\in C^2$ 且 $x-y\varphi’(y/z)\ne0$，求证：$z_{xx}z_{yy}=z_{xy}^2$。

题目相当于证明 $\begin{vmatrix}z_{xx} & z_{xy}\z_{xy} & z_{yy}\end{vmatrix}=0$，这等价于找出一个非零向量使得其左乘这个矩阵后得到零。

观察到，$z(tx,ty)=tz(x,y)$（因为将 $x,y,z$ 同时乘一个数等式还是成立的），那么 $z$ 必然是一个一次齐次，从而 $xz_x+yz_y=z$（上次结论），从而得到 $xz_{xx}+yz_{xy}=0,xz_{xy}+yz_{yy}=0$。

练习：$y+z=e^{-(x+y+z)}$，求 $z_x,z_y,z_{xx},z_{xy},z_{yy}$

5

设 $\begin{cases}x=u\cos(v/u),\y=\sin(v/u)\end{cases}$，求反函数组的偏导数 $u_x,u_y,v_x,v_y$。

直接把方程组对 $x$ 求偏导，然后根据反函数定理成立的条件（$\det J\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\ne0$），得到 $\cos(v/u)\ne0$，从而后续可以解出。

$$\begin{cases} u_x=\frac1{\cos(v/u)}\ v_x=\frac v{u\cos(v/u)}\ u_y=\frac{u\sin(v/u)}{\cos^2(v/u)}\ v_y=\frac{u\cos(v/u)+v\sin(v/u)}{\cos^2(v/u)} \end{cases}$$

6

通过代换 $x=uv,y=(u^2-v^2)/2$，变换方程：

$$\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2=\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}$$

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将 $u(x,y,z)$ 的方程

$$x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}=u+\frac{xy}z$$

变换为 $w(\xi,\eta,\zeta)$ 的方程，其中 $w=u/z,\xi=x/z,\eta=y/z,\zeta=z$。

$$1/z\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial \xi}\frac{\partial\xi}{\partial x}=1/2\frac{\partial w}{\partial\xi}\implies\frac{\partial w}{\partial\xi}=\frac{\partial u}{\partial x}$$

同理有

$$\frac{\partial w}{\partial\eta}=\frac{\partial u}{\partial y}$$

其次

$$\frac{zu_z-u}{z^2}=\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial\xi}(-\frac x{z^2})+\frac{\partial w}{\partial\eta}(-\frac y{z^2})+\frac{\partial w}{\partial\zeta}$$

将上面两个式子代入得

$$\frac{\partial w}{\partial\zeta}=\frac1{z^2}\left(x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}-u\right)=\frac{xy}{z^3}=\frac{\xi\eta}\zeta$$

这样的变换带来的是：我们利用 $\partial w/\partial\zeta$，积分得到

$$\begin{aligned} w&=\xi\eta\ln|\zeta|+f(\xi,\eta)\ u&=zf(x/z,y/z)+\frac{xy}z\ln|z| \end{aligned}$$

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设 $u(x,y)$ 是由方程组 $u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0$ 确定的函数，其中 $f,g,h\in C^1$ 且 $|\dfrac{\partial(g,h)}{\partial(z,t)}|\ne0$，求 $\partial u/\partial y$。

谁是谁的函数？为了求得 $u$ 关于 $x,y$ 的函数，需要求得 $z,t$ 关于 $y$ 的隐函数。

$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}z_y+\frac{\partial f}{\partial t}t_y$$

$$\begin{cases} g_y+g_zz_y+g_yt_y&=0\ h_zz_y+h_tt_y&=0 \end{cases}\implies\begin{cases} z_y=-\frac{g_yh_t}{g_zh_t-g_th_z}\ t_y=\frac{g_yh_z}{g_zh_t-g_th_z} \end{cases}$$