数分习题课笔记（3）
1 球面的参数表达
球坐标：会有重复点（$\theta=0$）
球极投影：二维平面 $\to$ 球面上除了北极点的任意点；$(u,v)\mapsto$ $(u,v)$ 与北极点连线和球面的交点 $(x,y,z)$
则
$$
u=\frac x{1-z},\ \ v=\frac y{1-z}
$$
$$
x=\frac{2u}{u^2+v^2+1},\ \ y=\frac{2v}{u^2+v^2+1}
$$
$(\theta,\phi)\xrightarrow{\Phi_1}$ 球面 $\xrightarrow{\Phi_2}(u,v)$
$$
\Phi_2\circ\Phi_1=\left(\frac{\sin\theta\cos\phi}{1-\cos\theta},\frac{\sin\theta\sin\phi}{1-\sin\theta}\right)
$$
2 参数曲线
例
$$
\vec r(t)=(t,t^2,t^3),\ \ \vec r’(t)=(1,2t,3t^2)
$$
$$
s(t)=\int_0^t||\vec r’(u)||du=\int_0^t\sqrt{1+4u^2+9u^4}du
$$
$$
k(t)=\frac{||\vec r’(t)\times\vec r’‘(t)||}{||\vec r’(t)||^3}
$$
例
$$
\vec r(t)=(\cos t,\sin t,t)
$$
螺旋线
$$
k(t)=1/2
$$
例
$$
\vec r(t)=(t\cos t,t\sin t,t)
$$
绕圆锥的螺旋线
$$
k(t)=\sqrt{\frac{(t^2+2)^2+t^2+4}{(t^2+2)^3}}
$$
3 参数曲面
$S^2$ 两种参数化曲面
- $\Phi_1(\theta,\phi)=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$
- $\Phi_2(u,v)=\left(\dfrac{2u}{u^2+v^2+1},\dfrac{2v}{u^2+v^2+1},\dfrac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}\right)$
$$
\vec r(u,v),\ \ \vec r_u,\vec r_v
$$
![[Pasted image 20230401162516.png]]
$$
E=||\vec r_u||^2,\ F=\vec r_u\cdot\vec r_u,\ G=||r_v||^2
$$
$$
||\vec r_u\times\vec r_v||=\sqrt{EG-F^2}
$$
以球坐标 $\Phi_1(\theta,\phi)=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ 为例：
$$
\begin{aligned}
\vec r_\theta&=(\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi,-\sin\theta)\
\vec r_\phi&=(-\sin\theta\sin\phi,\sin\theta\cos\phi,0)
\end{aligned}
$$
从而 $E=1,G=\sin^2\theta,F=0$，$\sqrt{EG-F^2}=\sin\theta$。
球极坐标 $\Phi_2(u,v)=\left(\dfrac{2u}{u^2+v^2+1},\dfrac{2v}{u^2+v^2+1},\dfrac{u^2+v^2-1}{u^2+v^2+1}\right)$ 为例：
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