数分习题课笔记（1）
2 点到集合距离
定义点到集合的距离 $d(x,A)=\inf_{y\in A}d(x,y)$，集合到集合的距离 $d(A,B)=\inf_{x\in A,y\in B}d(x,y)$
1
$d(x,E)\le d(x,y)+d(y,E)$
证明：由于对于任意 $z\in E$，$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$。由于存在 $z_n$ 使得 $d(y,z_n)\to\inf_{z\in E}d(y,z)>0$，且 $d(x,z)\ge d(x,E)$，则证毕。
2
$d(A,B)\le d(x,A)+d(x,B)$
证明类似，将三角不等式中的 $y,z$ 极限放缩即可。
3
若 $E\subset\mathbb R^n$ 是闭集，证明：$\forall x\in\mathbb R^n,x\in E\iff d(x,E)=0$。
证明：正向显然，反向通过聚点（或者，通过 $x\in E$，则 $x$ 存在于一个开集，那么存在 $r$ 的邻域与 $E$ 无交，那么构成矛盾）
4
对于 $E\subset\mathbb R^n$，$r>0$ 为常数，$A={x|x\in\mathbb R^n,d(x,E)<r}$，$B={x|x\in\mathbb R^n,d(x,E)\le r}$。证明：$A$ 是开集，$B$ 是闭集。
证明：取一半？$B$ 就反过来证开集。利用 2 的不等式。
证明 2（$d(x,*)$ 作为函数是连续的）：三角不等式告诉我们 $f(x)=d(x,E),|f(x)-f(y)|\le d(x,y)$，则 $f(x,y)$ 是一个连续函数（甚至一致连续！）。那么 $A,B$ 分别相当于 $f(x)$ 上一个开集和闭集的原象，则根据连续函数的性质是显然的。
5
设 $E\subset\mathbb R^n$，证明 $\partial E$ 是闭集（边界点集）。
证明：$(\partial E)^c=E^\circ\cup(E^c)^\circ$，则是开集。（或者沿袭定义证明）
6
设 $E\subset\mathbb R^n$，证明：$\partial\overline E\subset\partial E$。
证明：$\partial E=\overline E\backslash E^\circ,\partial\overline E=\overline{\overline E}\backslash(\overline E)^\circ$，而由于 $E^\circ\subset(\overline E)^\circ$，则得证。
真包含的例子：$E=\mathbb Q^n$，则 $\partial\overline E=\partial\mathbb R^n=\varnothing$，$\partial E=\mathbb R^n$。
7
设 $F\subset E\subset\mathbb R^n$，$E$ 为有界开集，$F$ 为闭集。证明：存在开集 $V$ 满足 $F\subset V\subset\overline V\subset E$。
证明：取 $E^c$ 这个闭集，那么闭集非空，则 $d(E^c,F)=r$ 不为零，那么可以把 $E$ 羽化 $r/2$ 得到 $V$。
证明 2：对于 $x\in F$，存在 $r_x$ 使得 $x$ 的 $r_x$ 闭球 $\subset E$，那么 $F\subset\cup_{x\in F}B(x,r_x/2)$，那么存在有限子覆盖，则 $F\subset_{i\in I}B(x_i,r_{x_i}/2)$。那么
$$
F\subset V\subset\overline V\subset\cup_{i\in I}\overline{B(x_i,r_{x_i}/2)}\subset\cup_{i\in I}B(x_i,r_{x_i})\subset E
$$
8
若 $f(x)$ 在开集 $D$ 内定义，则如下条件等价：
- $f(x)$ 在 $D$ 内连续；
- $\forall\alpha\in\mathbb R$，$E={x|f(x)>\alpha}$，$F={x|f(x)<\alpha}$ 都是开集；
- $\forall\alpha\in\mathbb R$，$E={x|f(x)\ge\alpha},F={x|f(x)\le\alpha}$ 是相对闭集。
证明：$1\implies2$ 显然，而 $2\iff3$ 显然，下证 $2\implies1$。设 $E_\alpha={x|f(x)>\alpha},F_\alpha={x|f(x)<\alpha}$。任取 $x_0\in D,\epsilon>0$，令 $\alpha=f(x_0)$，注意到 $E_{\alpha-\epsilon}\cap F_{\alpha+\epsilon}$ 是开集，且其等价于 ${x||x-\alpha|<\epsilon}$。那么存在 $\delta>0,B(x_0,\delta)\subset E_{\alpha-\epsilon}\cap F_{\alpha+\epsilon}$。那么，对于 $x\in D$，$|x-x_0|<\delta\implies|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$，证毕。
9
证明：不存在有界闭区间到单位圆周的连续双射。
证明：$f((a,b))=S’\backslash{f(a),f(b)}$，这与连续函数将连通集映为连通集矛盾。
证明 2：函数连续当且仅当其闭集的原象映为闭集，则 $f^{-1}$ 连续 $\iff$ $f$ 把闭集映为闭集。由于 $f$ 连续，则其将紧集映为紧集，而闭集上的紧集是闭集，那么得知 $f^{-1}$ 连续。从而，任取圆周上两点 $x,y$，取 $c\in(f^{-1}(x),f^{-1}(y))$。由介质原理，由于 $x,y$ 在圆上有两条路径，那么这两条路径上各存在一个点，这个点的原象是 $c$，这与双射的性质矛盾。
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设 $f(x)$ 在 $\mathbb R^n$ 中的有界开集 $D$ 中连续，证明 $f$ 一致连续 $\iff$ $\forall x_0\in\partial D$，$\lim_{D\ni x\to x_0}f(x)$ 存在。
证明：$\impliedby$ 是显然的，$\implies$：任取数列 $x_n\in D$，$x_n\to x_0$。那么对于 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得 $\forall x,y\in D,|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\epsilon$。而 $x_n$ 是 Cauchy 列意味着，对于 $m,n\ge N,|x_m-x_n|<\delta$，则 $|f(x_m)-f(x_n)|<\epsilon$，即 $f(x_n)$ 的极限存在。那么由于任何序列都存在 $f(x)$ 的极限，则 $\lim_{D\ni x\to x_0}f(x)$ 存在（这个以前证过）。
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设 $E\subset\mathbb R^n$ 不是闭集，且 $f(x)$ 在 $E$ 上一致连续，则 $f$ 存在唯一延拓到 $\overline E$ 上一致连续的函数。
证明：$\forall\epsilon0,\exists\delta>0,\forall x,y\in E,|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\epsilon$。任取 $x_0,y_0\in\overline E,|x_0-y_0|<\delta/4$，则存在两个序列 $x_n,y_n\in E$ 满足 $x_n\to x_0,y_n\to y_0$。不妨设数列满足 $|x_n-x_0|,|y_n-y_0|<\delta/4$，那么 $|x_n-y_n|\le|x_n-x_0|+|y_n-y_0|+|x_0-y_0|\le3\delta/4<\delta$，则 $|f(x_n)-f(y_n)|<\epsilon$，取极限后 $|f(x_0)-f(y_0)|\le\epsilon$，那么一致连续性得证。
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